Persamaan lingkaran memiliki bentuk umum x² + y ²+ Ax + By + C = 0, dimana bentuk itu bisa dipakai buat menentukan jari-jari dan titik pusat suatu lingkaran.

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik.

Koordinat dari titik-titik itu ditentukan lewat susunan persamaannya. Ini ditentukan berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran.

Persamaan lingkaran yang akan kamu pelajari di bawah ini memiliki beberapa bentuk.

Dalam kasus yang berbeda, persamaanya bisa berbeda. Makanya, pahami dengan baik supaya bisa sampai hafal di luar kepala.

Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran ini terbagi menjadi beberapa maca, diantaranya sebagai berikut ini:

1. Persamaan Umum Lingkaran

Didalam lingkaran, terdapat beberapa persamaan umum, diantaranya seperti berikut ini:

x² + y ²+ Ax + By + C = 0

Dilihat dari persamaan diatas, bisa ditentukan dari titik pusat dan jari-jarinya yaitu:

jari-jari (r) = √1/4 A² + 1/4 B² – C

Titik pusat lingkaran yaitu:

Pusat (-1/2 A, -1/2 B)

2. Pada Pusat P (a,b) dan Jari-Jari (r)

Dari suatu lingkaran apabila diketahui titik pusat serta jari-jarinya, maka akan bisa menggunakan persamaan atau rumus berikut ini:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Apabila diketahui titik pusat sebuah lingkaran dan jari-jari lingkaran yang mana (a,b) merupakan titik pusat dan r yaitu jari-jari dari lingkaran.

Dari persamaan atau rumus diatas, maka kamu bisa menentukan apakah termasuk titik terletak terhadap lingkaran tersebut atau ada di dalam atau di luar.

Guna menentukan letak titik itu, maka memakai substitusi titik terhadap variabel x dan y lalu dibandingkan hasilnya dengan menggunakan kuadrat dari jari-jari lingkaran.

Sebuah titik M(x1, y1) yang terletak:

• Pada lingkaran → (x₁ – a)² + (y₂ – b)² = r²
• Didalam lingkaran → (x₁ – a)² + (y₂ – b)² < r²
• Diluar lingkaran → (x₁ – a)² + (y₂ – b)² > r²

3. Pada dengan Pusat O (0,0) dan Jari-Jari (r)

Apabila titik pusat di O(0,0), maka kamu bisa melakukan substitusi dibagian sebelumnya, yaitu:

(x – 0)² + (y – 0)² = r ²→ x² + y²  = r²

Dari persamaan atau rumus di atas, maka bisa KAMU tentukan letak sebuah titik pada lingkaran tersebut:

Sebuah titik M(x1, y1) yang terletak:

• Pada lingkaran → x₁² + y₁² = r²
• Didalam lingkaran → x₁² + y₁² < r²
• Diluar lingkaran → x₁² + y₁² > r²

Bentuk umum dari persamaannya, bisa disebutkan kedalam beberapa bentuk seperti berikut ini:

• (x – a)² + (y – b)² = r² , atau
• X² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0 , atau
• X² + y² + Px + Qy + S = 0 , dengan P = -2a, Q = -2b, dan S = a² + b² – r²

Perpotongan Garis dan Lingkaran

Sebuah lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + Ax + By + C = 0 bisa ditentukan apakah sebuah garis h dengan persamaan y = mx + n itu tidak menyentuh, menyinggung, atau memotongnya dengan memakai prinsip diskriminan.

• x² + y² + Ax + By + C = 0 ….. (Persamaan 1)
• y = mx + n ….. (Persamaan 2)

Dengan cara mensubstitusi persamaan 2 dengan persamaan 1, maka akan didapatkan sebuah bentuk persamaan kuadrat, yaitu:

x² + (mx + n) ² + Ax + B(mx + n) ² + C = 0

Dari persamaan kuadrat yang ada diatas, dengan cara membandingkan nilai diskriminannya, maka bisa dilihat apakah garis tak menyinggung atau memotong lingkaran.

• Garis h tidak menyinggung atau memotong lingkaran, sehingga D < 0
• Garis h menyinggung lingkaran, sehingga D = 0
• Garis h memotong lingkaran, sehingga D > 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Garis singgung yang ada didalam sebuah lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang ada pada lingkaran.

Dari titik pertemuan antara garis singgung dan lingkaran, maka bisa ditentukan persamaan garis dari garis singgung itu:

Bentuk:

x² + y² = r²

Persamaan garis singgungnya:

xx₁ + yy₁ = r²

Bentuk:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Persamaan garis singgungnya:

(x – a)(x₁ – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

Bentuk:

x² + y² + Ax + By + C = 0

Persamaan garis singgungnya:

xx₁ + yy₁ + A/2 (x + x₁) + B/2 (y + y₁) + C = 0

2. Persamaan Garis Singgung dengan Menggunakan Gradien

Apabila sebuah garis dengan gradien (m) yang menyinggung suatu lingkaran x² + y² = r², maka persamaan garis singgungnya yaitu:

Apabila lingkaran,

(x – a)² + (y – b)² = r²

Maka, persamaan garis singgungnya yaitu:

(y – b) = m(x – a) +- r√m² + 1

Apabila lingkaran,

x² + y² + Ax + By + C = 0

Maka, persamaan garis singgungnya dengan mensubstitusi r dengan:

r = √(1/2a)² + (1/2b)² – C = √1/4A² + 1/4B² – C

Sehingga didapatkan:

(y – b) = m(x – a) +- √(1/2a)² + (1/2b)² – C √m² + 1

Atau,

(y – b) = m(x – a) +- √1/4A² + 1/4B² – C √m² + 1

3. Persamaan Garis Singgung dengan Titik yang Berada di Luar Lingkaran

Dari sebuah titik yang berada di luar suatu lingkaran, maka bisa ditarik dua garis singgung terhadap lingkaran tersebut.

Guna mencari persamaan garis singgung, maka digunakanlah persamaan atau rumus garis biasa, yaitu:

y – y₁ = m (x – x₁)

Tapi dari persamaan atau rumus itu, nilai gradien garis belum diketahui.

Maka, guna mencari nilai gradien garis tersebut, kamu harus substitusikan persamaan terhadap persamaan lingkaran.

Karena garis adalah garis singgung, jadi dari persamaan hasil substitusi nilai D=0, maka akan didapatkan nilai m.

Contoh Soal Persamaan Lingkaran

1. Sebuah lingkaran mempunyai persamaan x² + y² = 144. Tentukan panjang diameter dari lingkaran tersebut!

Jawab:

Lingkaran pusat ada di (0, 0) dengan jari-jari:

r = √144
= 12 cm.

Diameter lingkaran:

D = 2 r
D = 2 . 12
= 24 cm

Jadi, panjang diameter lingkaran tersebut adalah 24 cm.

2. Diberikan persamaan lingkaran x² + y² −4x + 2y − 4 = 0. Titik A mempunyai koordinat (2, 1). Maka tentukan posisi titik tersebut, apakah ada didalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!

Jawab:

Masukkan koordinat A menuju persamaan lingkarannya:

Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1

x² + y² −4x + 2y − 4
= (2)² + (1)² −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5

Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A ada didalam lingkaran.

Aturan selengkapnya yaitu:

Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran.
Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.
Hasil = 0,  titik berada pada lingkaran.